Question

【題目】已知函數

（1）若函數在處有最大值，求的值；

（2）當時，判斷的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數無零點；當或時，函數只有一個零點.

【解析】

（1）根據函數最值點可確定，從而求得；代入的值驗證后滿足題意，可得到結果；

（2）令，將問題轉化為零點個數的求解問題；分別在、和三種情況下，根據導函數得到原函數的單調性，結合零點存在定理和函數的最值可確定零點的個數.

（1）由題意得：定義域為，，

在處取得最大值，，解得：.

當時，，，

，在上單調遞減，

又，則時，；當時，；

在上單調遞增，在上單調遞減，，滿足題意；

綜上所述：.

（2）令，，則與的零點個數相等，

①當時即，函數的零點個數為；

②當時, ，在上為減函數，

即函數至多有一個零點，即至多有一個零點.

當時，，

，即，又，

函數有且只有一個零點，即函數有且只有一個零點；

③當時，令，即，

令，則

在上為增函數，又，

故存在，使得，即.

由以上可知：當時，，為增函數；當時，，為減函數；

，，

令，，

則，在上為增函數，

則，即，當且僅當，時等號成立，

由以上可知：當時，有且只有一個零點，即有且只有一個零點；當時，無零點，即無零點；

綜上所述：當時，函數無零點；當或時，函數只有一個零點.