Question

一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分，它的方程是x²=2y，y∈[0，10]，在杯內(nèi)放入一個清潔球，要求清潔球能擦凈酒杯的最底部（如圖），則清潔球的最大半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)小球圓心（0，y） 拋物線上點（x，y），求得點到球心距離r平方的表達式，進而根據(jù)若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底，需1-y≥0 進而求得r的范圍．
解答：解：設(shè)小球圓心（0，y）
拋物線上點（x，y）
點到圓心距離平方為：
r²=x²+（y-y）²=2y+（y-y）²=y²+2（1-y）y+y²
若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底
故此二次函數(shù)的對稱軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，所以1-y≥0⇒y≤1，
所以0＜r≤1，從而清潔球的半徑r的范圍為 0＜r≤1
則清潔球的最大半徑為 1
故答案為：1．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、拋物線的應(yīng)用、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查解決實際問題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．