Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面側(cè)面，，，，為棱的中點(diǎn)，在棱上，面.

（1）求證：為的中點(diǎn)；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)得證平面，這樣可以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系計(jì)算出D點(diǎn)坐標(biāo)即證；

（2）在（1）基礎(chǔ)上求出平面和平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角的余弦值，即得二面角的余弦值．

（1）連接，因?yàn)?/span>為正三角形，為棱的中點(diǎn)，

所以，從而，又面側(cè)面，

面側(cè)面，面，

所以面.

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

不妨設(shè)，則，，，

設(shè)，則，，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

所以，解得，即，所以為的中點(diǎn).

（2），，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，

令，得，

顯然平面的一個(gè)法向量為，

所以 ，

所以二面角的余弦值為.