Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=1 ，   a2=

1

2

，且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），則如圖中前n行所有數(shù)的和S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)a₁=1，a₂=

1

2

且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），得到a₃=

1

2

× 

1

3

=

1

6

，a₄=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

，…，a_n=

1

2

×

1

3

×…×

1

n

，根據(jù)圖表可知S_n的通項(xiàng)，利用求和公式求出即可．

解答：解：根據(jù)a₁=1，a₂=

1

2

且a_n+2=

an+12

an+an+1

（n∈N^*），
得到a₃=

1

2

× 

1

3

=

1

6

，
a₄=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

，
…，
a_n=

1

2

×

1

3

×…×

1

n

，
根據(jù)圖表可知S_n=

a1a1

a2

+

a1a2+a2a1

a3

+…+

a1an+a2an-1+…+ana1

an+1

=2+6+14+..+2ⁿ⁺¹-2
=2•2ⁿ⁺¹-2（n-2）
=2ⁿ⁺²-2n-4
故答案為2ⁿ⁺²-2n-4

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用圖表找規(guī)律的思維方法，以及利用等比數(shù)列的求和公式解決數(shù)學(xué)問題的能力．