Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．
（1）證明：{log₂（a_n+1）}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an+1

an+1

，求證：b_n=

an+1-an

anan+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，得log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），由此能證明{log₂（a_n+1）}是等比數(shù)列，從而能求出a_n=22n-1-1．
（2）由已知得

an+1-an

anan+1

=

an2+an

anan+1

=

an+1

an+1

，結(jié)合b_n=

an+1

an+1

，綜合可得答案．

解答： （1）證明：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
∴{log₂（a_n+1）}是等比數(shù)列，
∵log₂（a₁+1）=log₂2=1，
∴log2(an+1)=2n-1，
∴a_n=22n-1-1．
（2）證明：

an+1-an

anan+1

=

an2+an

anan+1

=

an+1

an+1

；
而b_n=

an+1

an+1

，
故b_n=

an+1-an

anan+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．