Question

（文科）已知A、B是拋物線y²=4x上的兩點，點M（4，0）滿足：

MA

=λ

BM

，動點P滿足

AP

=

OB

．
①求P點軌跡方程；
②若直線AB與圓：（x-1）²+y²=1相離，求λ取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：①由題意可知直線AB過點M，設(shè)出A，B，P的坐標，由

AP

=

OB

得到三點坐標的關(guān)系，分直線AB的斜率存在和不存在討論，當斜率不存在時求出P的坐標，斜率存在時設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到

x= 8k2+4 k2 y= 4 k

，消掉k得到P點軌跡方程；
②由圓心到直線的距離大于半徑求得k的范圍，取k的端點值，求出A，B的橫坐標，利用三角形相似關(guān)系求得λ的取值范圍．

解答： 解：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
∵

MA

=λ

BM

，
∴直線AB過點M，
由

AP

=

OB

，得

x-x1=x2 y-y1=y2

，即

x1+x2=x y1+y2=y

．
當直線AB斜率不存在時，點P為（8，0）；
當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-4）（k≠0），
聯(lián)立

y=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0．
∴x1+x2=

8k2+4

k2

，y1+y2=k(x1+x2)-8k=

4

k

．
即

x= 8k2+4 k2 y= 4 k

，消掉k得y²=4x-32．
驗證（8，0）適合上式．
∴P點軌跡方程為y²=4x-32；
②由y=k（x-4），得kx-y-4k=0．
∵直線AB與圓：（x-1）²+y²=1相離，
∴

|-3k|

k2+1

＞1，解得：k＜-

2

4

或k＞

2

4

．
當k=±

2

4

時，k²x²-（8k²+4）x+16k²=0化為x²-40x+16=0．
解得：x1=20+8

6

，x2=20-8

6

．
此時λ=

20+8 6 -4

4-20+8 6

=5+2

6

．
∴λ取值范圍是[1，5+2

6

）∪（5-2

6

，1]．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓練了利用參數(shù)法求曲線的方程，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．