Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+px+q，p，q∈R．
（Ⅰ）若p+q=3，當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）≥0恒成立，求p的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，試求所有的實(shí)數(shù)對（p，q）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x²+px+3-p，討論判別式△的取值，從而判斷f（x）≥0解的情況：△=p²-4（3-p）≤0，即-6≤p≤2時，f（x）≥0滿足在[-2，2]上恒成立；△=p²-4（3-p）＞0，即p＜-6，或p＞2時，對于方程x²+px+3-p=0的兩根，大根

-p+ p2-4(3-p)

2

≤-2，或小根

-p- p2-4(3-p)

2

≥2，所以通過解不等式求出△＞0時p的取值范圍，再合并-6≤p≤2即可得到p的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，則必須

|f(1)|≤2 |f(5)|≤2

，（1），然后通過解該不等式組能夠得出p的取值范圍，并求出-

p

2

的范圍，可判斷f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（-

p

2

）≥-2，該不等式結(jié)合不等式組（1）通過求p的取值范圍，能夠求出p=-6，將p帶入前面不等式，同樣通過求q的范圍能夠得到q=7，所以便得到滿足條件的實(shí)數(shù)對只一對為（-6，7）．

解答： 解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3-p；
∴f（x）=x²+px+3-p；
x∈[-2，2]時，f（x）≥0恒成立：
（1）若△=p²-4（3-p）≤0，即-6≤p≤2時，f（x）滿足該條件；
（2）若△=p²-4（3-p）＞0，即p＜-6，或p＞2時，則p需滿足：

-p+ p2-4(3-p)

2

≤-2，或

-p- p2-4(3-p)

2

≥2；
解得-7≤p≤-4，∴-7≤p＜-6；
綜合（1）（2）得-7≤p≤2；
∴p的取值范圍是[-7，2]；
（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，則需滿足：

-2≤f(1)≤2 -2≤f(5)≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

（3）；
∴

-2≤-1-p-q≤2 ① -2≤25+5p+q≤2 ②

；
①+②得-7≤p≤-5；
f（x）的對稱軸為x=-

p

2

，

5

2

≤-

p

2

≤

7

2

；
∴f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，5]內(nèi)；
∴要使|f（x）|＞2，在區(qū)間[1，5]上無解，還需滿足：
f(-

p

2

)≥-2，即

4q-p2

4

≥-2，即q≥

p2

4

-2；
結(jié)合（3）可得到p，q需滿足：

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2 q≥ p2 4 -2

，解該不等式組得：
p=-6，帶入該不等式組可得q=7；
所以滿足題意的實(shí)數(shù)對（p，q）只有一對：（-6，7）．

點(diǎn)評：考查一元二次不等式解的情況和判別式△的關(guān)系，一元二次方程的求根公式，以及二次函數(shù)的對稱軸，及頂點(diǎn)處的函數(shù)值，可結(jié)合二次函數(shù)f（x），|f（x）|圖象求解本題．