設(shè)f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)
（1）求證：f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)+…+f(
1
2008
)．
分析：（1）先把f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)中所有的x都換成
1
x
，得到f(
1
x
)，然后進(jìn)行整理能證出f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)．
（2）由f(
1
x
)+f(x)=0知f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)．=f（1）+f（2），從而得到結(jié)果．
解答：解：（1）因?yàn)?span id="cclscbv" class="MathJye">f(
1
x
)=
1-(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2-1
x2+1
，f(x)=
1-x2
1+x2
，（4分）
所以f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；（6分）
（2）由（1）知f(
1
x
)+f(x)=0（3） （8分）
所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)．
=f（1）+f（2）   （12分）
=0+
-3
5
=-
3
5
   （14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=λ1(
a
3
x3+
b-1
2
x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
（1）當(dāng)λ1=1，λ2=0時(shí)，設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
①如果x1＜1＜x2＜2，求證：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）時(shí)，函數(shù)g（x）=f'（x）+2（x-x2）的最小值為h（a），求h（a）的最大值．
（2）當(dāng)λ1=0，λ2=1時(shí)，
①求函數(shù)y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，c，當(dāng)a+b+c=3時(shí)，求證3aa+3bb+3cc≥9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
 
1-x2
，(|x|≤1)
|x|，(|x|＞1)
，若方程f（x）=a有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a滿足（　�。�
A、a＜0B、0≤a＜1
C、a=1D、a＞1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•錦州一模）設(shè)函數(shù)f(x)=
1-x2，x≤1
x2-2，x＞1
，則 f(
1
f(2)
)的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
1
1+x2
，|x|＞1
|x-1|-2，|x|≤1
，則f(f(
1
2
))=（　�。�
A、
1
2
B、
4
13
C、-
9
5
D、
25
41

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