Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜ϕ＜

π

2

)，其部分圖象如圖所示．
（1）求函數 y=f（x）的表達式；
（2）若α∈(-

π

6

，

π

6

)，且f(α)=

3

5

，試求sinα的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數的最大值，可得A=1．算出周期T=4（

2π

3

-

π

6

）=2π，可得ω=

2π

T

=1．再將(

π

6

，1)代入得到關于ϕ的等式，結合

π

2

＜ϕ＜

π

2

解出ϕ=

π

3

，即可得出函數y=f（x）的表達式；
（2）由（1）得f(α)=sin(α+

π

3

)=

3

5

，利用同角三角函數的關系算出cos(α+

π

3

)=

4

5

，再進行配角：α=（α+

π

3

）-

π

3

，根據兩角差的正弦公式加以計算，可得sinα的值．

解答： 解：（1）由圖象，可得函數的最大值為A=1，
最小正周期T=4（

2π

3

-

π

6

）=2π，可得ω=

2π

T

=1．
由此可得f（x）=sin（x+ϕ），將(

π

6

，1)代入，
可得sin(

π

6

+ϕ)=1，
∵-

π

2

＜ϕ＜

π

2

，可得-

π

3

＜

π

6

+ϕ＜

2π

3

，
∴

π

6

+ϕ=

π

2

，解得ϕ=

π

3

，
因此，函數y=f（x）的表達式是f(x)=sin(x+

π

3

)，x∈R；
（2）由f(α)=

3

5

，得sin(α+

π

3

)=

3

5

，
∵-

π

6

＜α＜

π

6

，可得

π

6

＜α+

π

3

＜

π

2

，
∴cos(α+

π

3

)=

1-sin2(α+ π 3 )

=

4

5

．
由此可得：

sinα=sin[(α+ π 3 )- π 3 ]=sin(α+ π 3 )cos π 3 -cos(α+ π 3 )sin π 3

=

3 5 × 1 2 - 4 5 × 3 2 = 3 10 - 4 3 10

．

點評：本題給出三角函數的圖象，求函數的解析式，并依此求sinα的值．著重考查了由三角函數的部分圖象確定其解析式、同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式等知識，屬于中檔題．