(21)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.

解：(Ⅰ)由題意設橢圓的標準方程為=1(a＞b＞0)，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3.

∴橢圓的標準方程為=1.

(Ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立

得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=，

因為以AB為直徑的圓過橢圓右頂點D(2，0)，

∴kACkAD=-1，則= -1.

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.

∴+4=0.

∴7m2+16mk+4k2=0.

解得：

m1=-2k，m2=，且均滿足3+4k2-m2＞0.

當m1=-2k時，l的方程為y=k(x-2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；

當m2=時，l的方程為y=k(x)，直線過定點(，0).

所以，直線l過定點，定點坐標為(，0).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

(2007陜西，21)已知橢圓C∶(a＞b＞0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

本題有（1）、（2）、（3）三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓=1的左、右焦點分別為F1、F2,過F1的直線交橢圓于B、D兩點,過F2的直線交橢圓于A、C兩點,且AC⊥BD,垂足為P.

(1)設P點的坐標為(x0,y0),證明＜1;

(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.

(文)設{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求{an}、{bn}的通項公式;

(2)求數(shù)列{}的前n項和Sn.

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