Question

設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對(duì)于映射f：V→V，

a

∈V，記

a

的象為f(

a

)．若映射f：V→V滿(mǎn)足：對(duì)所有

a

，

b

∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，則f稱(chēng)為平面M上的線(xiàn)性變換．現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)f是平面M上的線(xiàn)性變換，則f(

0

)=

0

②對(duì)

a

∈V設(shè)f(

a

)=2

a

，則f是平面M上的線(xiàn)性變換；
③若

e

是平面M上的單位向量，對(duì)

a

∈V設(shè)f(

a

)=

a

-

e

，則f是平面M上的線(xiàn)性變換；
④設(shè)f是平面M上的線(xiàn)性變換，

a

，

b

∈V，若

a

，

b

共線(xiàn)，則f(

a

)，f(

b

)也共線(xiàn)．
其中真命題是

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)的演繹推理，由已知中，若映射f：V→V滿(mǎn)足：對(duì)所有

a

，

b

∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，則f稱(chēng)為平面M上的線(xiàn)性變換．我們根據(jù)其定義對(duì)題目中的四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．

解答：解：令

a

=

b

=

0

，λ=μ=1，
由題有f（

0

）=2f（

0

）?f（

0

）=

0

，故①正確；
由題f（λ

a

+μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
λf（

a

）+μf（

b

）=2λ

a

+2μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
即f（λ

a

+μ

b

）=λf（

a

）+μf（

b

），故②正確；
由題f（λ

a

+μ

b

）=λ

a

+μ

b

-

e

，
λf（

a

）+μf（

b

）=λ

a

-

e

+μ

b

-

e

，，
即f（λ

a

+μ

b

≠λf（

a

）+μf（

b

），故③不正確；
由題

b

=λ

a

，f（

0

）=f（

a

-λ

b

）=f（

a

）-λf（

b

）

0

?f（

a

）=λf（

b

），
即f（

a

），f（

b

）也共線(xiàn)，故④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理．三段論推理的依據(jù)用集合論的觀(guān)點(diǎn)來(lái)講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P．三段論的公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱(chēng)為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況；這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論．演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系．因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．