Question

組委會(huì)計(jì)劃對(duì)參加某項(xiàng)田徑比賽的12名運(yùn)動(dòng)員的血樣進(jìn)行突擊檢驗(yàn)，檢查是否含有興奮劑HGH成分．采用如下檢測(cè)方法：將所有待檢運(yùn)動(dòng)員分成4個(gè)小組，每組3個(gè)人，再把每個(gè)人的血樣分成兩份，化驗(yàn)室將每個(gè)小組內(nèi)的3個(gè)人的血樣各一份混合在一起進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果中不含HGH成分，那么該組的3個(gè)人只需化驗(yàn)這一次就算合格；如果結(jié)果中含HGH成分，那么需對(duì)該組進(jìn)行再次檢驗(yàn)，即需要把這3個(gè)人的另一份血樣逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)，才能最終確定是否檢驗(yàn)合格，這時(shí)，對(duì)這3個(gè)人一共進(jìn)行了4次化驗(yàn)，假定對(duì)所有人來說，化驗(yàn)結(jié)果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
（Ⅰ）求一個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格的概率；
（Ⅱ）設(shè)一個(gè)小組檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）至少有兩個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格的概率．（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：0.271³≈0.020，0.271⁴≈0.005，0.729²≈0.500）

Answer 1

分析：（1）一個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格，則必有此三個(gè)人的血樣中均不含HGH成分，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到要求的概率．
（2）一個(gè)小組檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，若一次檢驗(yàn)不合格，則要挨個(gè)檢驗(yàn)三個(gè)人的血液，最終結(jié)果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值，當(dāng)變量是4時(shí)，用三人都不含HGH成分的對(duì)立事件，寫出分布列和期望．
（3）四個(gè)小組中至少有兩個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格的對(duì)立事件是有一個(gè)或0個(gè)檢驗(yàn)不合格，根據(jù)對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到概率．

解答：解：（Ⅰ）∵化驗(yàn)結(jié)果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
一個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格，則必有此三個(gè)人的血樣中均不含HGH成分
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到
∴所求概率為P=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729．

（Ⅱ）一個(gè)小組檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，若一次檢驗(yàn)不合格，則要挨個(gè)檢驗(yàn)三個(gè)人的血液，
最終結(jié)果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值
∴隨機(jī)變量ξ的取值可為1，4，
當(dāng)變量是1時(shí)，上面已經(jīng)做出結(jié)果，
當(dāng)變量是4時(shí)，用三人都不含HGH成分的對(duì)立事件．
∴P(ξ=1)=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729P(ξ=4)=1-(

9

10

)3=0.271
∴ξ的分布列為

∴Eξ=(

9

10

)3+4×[1-(

9

10

)3]=1.183

（Ⅲ）四個(gè)小組中至少有兩個(gè)小組只需經(jīng)過一次檢驗(yàn)就合格的對(duì)立事件是有一個(gè)或0個(gè)檢驗(yàn)不合格，
根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到概率為
P=1-C₄⁰（0.729）⁰（0.271）⁴-C₄¹（0.729）¹（0.271）³≈0.94

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和對(duì)立事件，正難則反是解題是要時(shí)刻注意的，我們盡量用簡(jiǎn)單的方法來解題，這樣可以避免一些繁瑣的運(yùn)算，使得題目看起來更加清楚明了．