Question

已知二次函數的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數 ．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當的單調遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數 y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

解：（I）∵y=ax²+（b+）x+c-1是偶函數，
∴b+=0，b=-，
又∵圖象過原點，
∴c=1，
∴b=-，c=1，
（Ⅱ）當a=時，h（x）=（）
h′（x）=
=
=
令f′（x）＜0得，
函數單調遞減區(qū)間是（2-，2+），
（III）∵函數h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=（ax²-x+1）+（2ax-）=
即5ax²-2x+1=0存在正根，△=4（1-5a）．
①當a＞時，△＜0，方程5ax²-2x+1=0無實數根，
此時函數h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a=時，△=0，方程5ax²-2x+1=0根為x=1，
此時函數h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當0＜a＜時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個實數根x₁，x₂，x₁+x₂=＞0，x₁x₂=＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個不等的正實數根
此時函數h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有且僅有一個正實數根，此時函數h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當a＞時，不存在垂直于y軸的切線
當a=或a＜0時，存在一條垂直于y軸的切線
當0＜a＜時，存在垂直于y軸的切線．
分析：（I）若函數的圖象經過原點，則常數項為0，若函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（II）當a=時，結合（1）的結論不難給出函數導函數的解析式，確定導函數的符號易得函數的單調區(qū)間．
（III）如果函數圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數為0，結合導數即可求解．
點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數奇偶性的應用、導數的應用等基礎知識，考查待定系數法．待定系數法是求函數解析式的常用方法之一，當函數f（x）類型確定時，可用待定系數法．其解題步驟一般為：①根據函數類型設出函數的解析式（其中系數待定）②根據題意構造關于系數的方程（組）③解方程（組）確定各系數的值④將求出的系數值代入求出函數的解析式．