Question

若關(guān)于x的方程（2-2^-|x-3|）²=3+a有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先將a分離出來(lái)，再利用換元法令t=2^-|x-3|，則0＜t≤1，將a=（2-2^-|x-3|）²-3轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其值域即可．
解答：解：原方程可化為a=（2-2^-|x-3|）²-3，
令t=2^-|x-3|，則0＜t≤1，a=f（t）=（t-2）²-3，
又∵a=f（t）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
∴f（1）≤f（t）＜f（0），即-2≤f（t）＜1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：-2≤a＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及換元法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．