Question

【題目】設函數f（x）=x2+bx﹣alnx．
（1）若x=2是函數f（x）的極值點，1和x0是函數f（x）的兩個不同零點，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．
（2）若對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵x=2是函數f（x）的極值點，∴ ．

∵1是函數f（x）的零點，得f（1）=1+b=0，

由 ，解得a=6，b=﹣1．

∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，

令 = ，x∈（0，+∞），得x＞2；

令f′（x）＜0得0＜x＜2，

所以f（x）在（0，2）上單調遞減；在（2，+∞）上單調遞增．

故函數f（x）至多有兩個零點，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），

因為f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）= 0，

所以x0∈（3，4），故n=3．

（2）解：令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，則g（b）為關于b的一次函數且為增函數，

根據題意，對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，

則在x∈（1，e）上 ，有解，

令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，

由于 ，

令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，

∴φ（x）在（1，e）上單調遞增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，

①當1﹣a≥0，即a≤1時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上單調遞增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意．

②當1﹣a＜0，即a＞1時，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a

若a≥2e2﹣e＞1，則φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，

∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意．

若2e2﹣e＞a＞1，則φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在實數m，使得φ（m）=0，

∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，

∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意．

綜上所述，當a＞1時，對任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立

【解析】（1）先求導得到 ，由 ，f（1）=1+b=0，得到a與b的值，再令導數大于0，或小于0，得到函數的單調區(qū)間，再由零點存在性定理得到得到x0∈（3，4），進而得到n的值；（2）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，問題轉化為在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，連續(xù)利用導函數，然后分別對1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，進而得到結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．