Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l：x+4=0的距離與它到點(diǎn)M（2，0）的距離之差為2，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）問(wèn)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q且斜率分別為k₁，k₂的兩直線與曲線C相切，同時(shí)滿足k₁+2k₂=0，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義，曲線C是以（2，0）為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（-4，y₀），過(guò)Q與C相切的直線設(shè)為y-y₀=k（x+4），k≠0，聯(lián)立

y2=8x y-y0=k(x+4)

，得ky²-8y+8y₀+32k=0，由此能求出存在點(diǎn)Q（-4，2）和（-4，-2），使得過(guò)點(diǎn)Q的兩直線與曲線C相切，且滿足k₁+2k₂=0．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義，曲線C是以（2，0）為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴p=4，
∴曲線C的方程為y²=8x．
（Ⅱ）設(shè)Q（-4，y₀），過(guò)Q與C相切的直線設(shè)為y-y₀=k（x+4），k≠0，
聯(lián)立

y2=8x y-y0=k(x+4)

，得ky²-8y+8y₀+32k=0，
∵直線與曲線C相切，
∴△=64-4k（8y₀+32k）=0，∴4k²+y₀k-2=0，
∴

k1+k2=- y0 4 k1k2=- 1 2

，
∵k₁，k₂是兩切線的斜率，且滿足k₁+2k₂=0，
∴k₁=-

y0

2

，k2=

y0

4

，又∵k1k2=-

1

2

，∴y₀=±2，
∴存在點(diǎn)Q（-4，2）和（-4，-2），使得過(guò)點(diǎn)Q的兩直線與曲線C相切，且滿足k₁+2k₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．