Question

數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：{

1

an-1

}為等差數列，并求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

an

-1，數列{b_n}的前n項和為B_n，對任意n≥2都有B_3n-B_n＞

m

20

成立，求整數m的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，由此能證明{

1

an-1

}為等差數列，并能求出{a_n}的通項公式．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，從而得到{C_n}為單調遞增數列，由此能求出整數m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*），
∴

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，
∵

1

a1-1

=

1

1 2 -1

=-2，
∴{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數列，
∴

1

an-1

=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1)，
∴an=

n

n+1

．
（2）b_n=

1

an

-1=

n+1

n

-1=

1

n

，
令C_n=B_3n-B_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
∴C_n+1-C_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3(n+1)

-

1

n+1

-…-

1

3n

=-

1

n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+1

=

1

3n+2

-

2

3n+3

+

1

3n+1

＞

2

3n+3

-

2

3n+3

=0，
∴C_n+1-C_n＞0，
∴{C_n}為單調遞增數列，
∴（B_3n-B_n）_min=B₆-B₂=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

，
∴m＜19，
又m∈N^*，
∴m的最大值為18．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查整數的最大值的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．