Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，

AB

•

AC

=8，∠BAC=θ，a=4．
（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f(θ)=2

3

sin2(

π

4

+θ)+2cos2θ-

3

的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，化簡

AB

•

AC

=8得到一個關(guān)系式，記作①，然后再根據(jù)余弦定理表示出a的平方，記作②，把①代入②得到b和c的平方和的值，然后根據(jù)基本不等式得到bc的范圍，進而得到bc的最大值，根據(jù)bc的范圍，由①得到cosθ的范圍，根據(jù)三角形內(nèi)角θ的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到θ的范圍；
（Ⅱ）把f（θ）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，提取2后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)（Ⅰ）中θ的范圍，利用正弦函數(shù)的值域，即可得到f（θ）的最小值和最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為

AB

•

AC

=bc•cosθ=8，
根據(jù)余弦定理得：b²+c²-2bccosθ=4²，
即b²+c²=32，（2分）
又b²+c²≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值為16，（4分）
即

8

cosθ

≤16，
所以cosθ≥

1

2

，又0＜θ＜π，
所以0＜θ≤

π

3

；（6分）
（Ⅱ）f(θ)=

3

•[1-cos(

π

2

+2θ)]+1+cos2θ-

3

=

3

sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+

π

6

)+1，（9分）
因0＜θ≤

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ+

π

6

)≤1，（10分）
當2θ+

π

6

=

5π

6

即θ=

π

3

時，f(θ)min=2×

1

2

+1=2，（11分）
當2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

時，f（θ）_max=2×1+1=3．（12分）

點評：此題考查學生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則，靈活運用余弦定理及基本不等式化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．