Question

（本小題滿分13分）已知函數，．

（Ⅰ）設（其中是的導函數），求的最大值；

（Ⅱ）求證: 當時，有；

（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，取得最大值；

（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．

因此，有．

（Ⅲ）整數的最大值是. 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,所以 ．

當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；           ………………3分

（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．

因此，有．………………7分

（Ⅲ）不等式化為所以

對任意恒成立．令，則，

令，則，所以函數在上單調遞增．

因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以．

所以．故整數的最大值是.     ……………13分

考點：本題主要考查了導數的運算、導數在函數單調性及不等式中的應用。

點評：較難題，利用導數求函數單調區(qū)間的方法，解題時注意函數的定義域，避免出錯。