設(shè)A={x|x=a2+b2，a，b∈Z}，求證：
（1）若s，t∈A，則st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，則
st
=p2+q2，其中p，q是有理數(shù)．
分析：（1）設(shè)出s、t，使其符合集合A中元素的形式，然后相乘判斷乘積是否符合集合A中元素的形式；
（2）（1）中證出了st∈A，然后把
s
t
分子分母同時(shí)乘以t，把表達(dá)式拆開后即可得證．
解答：解：（1）設(shè)s=a2+b2，t=c2+d2，則st=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可設(shè)st=m2+n2，又t≠0，所以
s
t
=
st
t2
=
m2+n2
t2
=(
m
t
)2+(
n
t
)2，
令p=
m
t
，q=
n
t
，則
s
t
=p2+q2，p，q為有理數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，考查了集合思想，訓(xùn)練了判斷元素在集合內(nèi)的方法，解答的關(guān)鍵是把涉及到的集合中的元素寫成對應(yīng)的形式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

6、設(shè)集合A={x|x=a2+1，a∈N}，B={y|y=b2-4b+5，b∈N}，則下列關(guān)系中正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．設(shè)f(x)=
OA
•
OB
．
（1）若a=
3
，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區(qū)間[0，2π]內(nèi)的解集；
（2）若點(diǎn)A是過點(diǎn)（-1，1）且法向量為
n
=(-1，1)的直線l上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)x∈R時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榧螹，不等式x2+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（3）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)f（x）的性質(zhì)取決于變量a、b和ω的值．當(dāng)x∈R時(shí)，試寫出一個(gè)條件，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
3
，0)對稱，且在x=
π
6
處f（x）取得最小值”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)A={x|x=a2+b2，a，b∈Z}，求證：
（1）若s，t∈A，則st∈A．
（2）若數(shù)學(xué)公式，其中p，q是有理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)A={x|x=a2+b2，a，b∈Z}，求證：
（1）若s，t∈A，則st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，則
s
t
=p2+q2，其中p，q是有理數(shù)．

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