Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-=，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）為單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值，f（x）的極小值為f（1）=1，f（x）無極大值；
（2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，
令，x∈（0，e]，
則，
令g′（x）=0，則，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，
∴，
∴a≥e²，即a的取值范圍為a≥e²．
分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得到極值；
（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，x∈（0，e]的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可求得；
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值及函數(shù)恒成立問題，具有一定綜合性，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．