Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩對稱軸之間的距離是 ，若將f（x）的圖象先向由平移 個單位，再向上平移 個單位，所得函數g（x）為奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞減區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =2× ，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b．

又g（x）=sin[2（x﹣ ）+φ]﹣b+ 為奇函數，且0＜φ＜π，則φ= ，b= ，

故f（x）=sin（2x+ ）﹣

（2）解：令2x+ =kπ，k∈z，求得：x= ﹣ ，k∈Z，

故函數的對稱中心為：（ ﹣ ，﹣ ），k∈Z，

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得： +kπ≤x≤ +kπ，（k∈Z），

故函數的減區(qū)間為[ +kπ， +kπ]（k∈Z）

【解析】（1）由周期求得ω，由函數g（x）為奇函數求得φ和b的值，從而得到函數f（x）的解析式．（2）令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的減區(qū)間，令2x+ =kπ，k∈z，求得x，即可解得函數的對稱中心．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．