Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G，H分別是CE和CF的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BDGH：
（2）求V_E-BFH．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OH，證明OH∥AF，即可證明AF∥平面BDGH；
（2）由面面垂直的性質(zhì)可證AC與平面BDEF垂直，可得H到平面BDEF的距離為CO的一半，再利用等體積轉(zhuǎn)換，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OH，
在△ACF中，因?yàn)镺A=OC，CH=HF，
所以O(shè)H∥AF，
又因?yàn)镺H?平面BDGH，AF?平面BDGH，
所以O(shè)H∥平面BDGH．…（6分）
（2）解：因?yàn)樗倪呅问钦�方形�?br />所以AC⊥BD．
又因?yàn)槠矫鍮DEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF…（8分）
則H到平面BDEF的距離為CO的一半
又因?yàn)锳O=

2

，三角形BEF的面積

1

2

×3×2

2

=3

2

，
所以V_E-BFH=V_H-BEF=

1

3

×3

2

×

2

2

=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，面面平行的判定，考查了求三棱錐的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．