Question

已知函數(shù)，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數(shù)．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（3）若數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和，求．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析，；（3） ．

試題分析：（1）直接利用導數(shù)得出切線斜率，寫出點處切線方程，在切線方程中令，就可求出切線與軸交點的橫坐標即；（2）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，關鍵是找到與的關系，按題設，它們由聯(lián)系起來，，把用（1）中的結論代換，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031214904344.png" style="vertical-align:middle;" />的式子，它應該與是有聯(lián)系的，由此就可得出結論；（3）按照要求，首先求出數(shù)列的通項公式，當然要利用（），直接等于，數(shù)列實際上是一個等差數(shù)列，那么數(shù)列就是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項相乘得到的新數(shù)列，其前項的求法是乘公比錯位相減法，即，記等比數(shù)列的公比是，則有
，兩式相減，即，這個和是容易求得的．
試題解析：（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為，即
令，得，即
由題意得，所以      5′
（2）因為，所以
即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列故    10′
（3）當時，，當時，
所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列的通項公式為
  ①
①的  ②
①②得
故       16′