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已知正數x，y，z滿足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：正數x，y，z滿足2x+2y+z=1，可得z=1-2（x+y）＞0，解得0＜x+y＜
1
2
.3xy+yz+zx=3xy+[1-2（x+y）]（x+y）≤3×
(x+y)2
4
-2（x+y）2+（x+y）=-
5
4
[(x+y)-
2
5
]2+
1
5
，再利用二次函數的單調性即可得出．
解答： 解：∵正數x，y，z滿足2x+2y+z=1，可得z=1-2（x+y）＞0，解得0＜x+y＜
1
2
．
∴3xy+yz+zx=3xy+[1-2（x+y）]（x+y）
≤3×
(x+y)2
4
-2（x+y）2+（x+y）=-
5
4
(x+y)2+(x+y)=-
5
4
[(x+y)-
2
5
]2+
1
5
，
當x+y=
2
5
，x=y=
1
5
時，取等號．
∴3xy+yz+zx的最大值為
1
5
．
點評：本題考查了基本不等式的性質、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=
4
x
+x在區(qū)間[-2，0）和（0，2]的性質是（　　）
A、奇函數且是增函數
B、偶函數且減函數
C、僅為奇函數
D、僅有單調性

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=sin（2x+
π
3
）+
3
2
的圖象的一個對稱中心是（　�。�
A、（
2π
3
，
3
2
）
B、（
π
3
，-
3
2
）
C、（
2π
3
，
3
2
）
D、（
π
3
，
3
2
）

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科目：高中數學 來源： 題型：

求函數y=x+
1
x-8
（x＜8）的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

過M（2，1）的直線l分別交x軸正方向及直線y=3x（位于第一象限部分）于A、B，求使S△AOB最小的直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求函數f（x）=
ax-1
ax+1
的定義域和值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若關于x的方程x2+x•cosαcosβ+cosγ-1=0的兩個根x1，x2，滿足x1+x2=
x1x2
2
，則以α，β，γ為內角的三角形的形狀是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b是正整數，函數f（x）=ax+
2
x+b
（x≠-b）的圖象經過點（1，3）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）函數y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，π]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|的最大值，并求使函數取得最大值時x的值．

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