Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，求：
（1）異面直線AD₁與A₁B所成的角；
（2）證明：直線A₁B∥平面AD₁C
（3）二面角D-A₁B-C₁的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)D₁C，AC，則A₁B∥D₁C，從而異面直線AD₁與A₁B所成的角為∠AD₁C，由△AD₁C是等邊三角形，能求出異面直線AD₁與A₁B所成的角的大小．
（2）由A₁B∥D₁C，能證明直線A₁B∥平面AD₁C．
（3）以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-A₁B-C₁的大小．

解答： （1）解：連結(jié)D₁C，AC，則△AD₁C是等邊三角形，
∵A₁B∥D₁C，
∴異面直線AD₁與A₁B所成的角為∠AD₁C，
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴∠AD₁C=60°，
∴異面直線AD₁與A₁B所成的角為60°．
（2）證明：由（1）知A₁B∥D₁C，
∵A₁B不包含于平面AD₁C，D₁C?平面AD₁C，
∴直線A₁B∥平面AD₁C．
（3）解：以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則D（0，0，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），

DA1

=（1，0，1），

DB

=（1，1，0），
設(shè)平面DA₁B的法向量

n

=（a，b，c），
則

DA1 • n =a+c=0 DB • n =a+b=0

，取a=1，得

n

=（1，-1，-1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（-1，0，1），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量

m

=(x，y，z)，
則

BA1 • m =-y+z=0 BC1 • m =-x+z=0

，
取x=1，得

m

=（1，1，1），
設(shè)二面角D-A₁B-C₁的大小為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1-1-1

3 × 3

|=

1

3

，
∴θ=arccos

1

3

．
∴二面角D-A₁B-C₁的大小為arccos

1

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．