Question

在棱長為a的正方體OABC—O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF．

（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′—EF—B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：連結(jié)OF、CE、A′O.如圖 ∵AE＝BF  ∴EB＝CF  OC＝CB  ∠OCF＝∠CBE ∴△OCF≌△CEB  ∴∠ECB＝∠FOC， ∴OF⊥CE 又∵CC′⊥平面AC  CE⊥OF  ∴C′E⊥OF 又∵EB⊥平面BC′，C′B⊥B′C  ∴C′E⊥B′C 又∵A′O∥B′C  ∴C′E⊥A′O 又∵A′O∩OF＝O  C′E⊥A′O  C′E⊥OF ∴A′O⊥平面A′CO  A′F平面A′CO  ∴A′F⊥C′E （Ⅱ）解：設(shè)EB＝y，BF＝x，邊長為a，則x＋y＝a，三棱錐B′—BEF的體積 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝時(shí)等號(hào)成立. 因此，三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時(shí)BE＝BF＝. 過B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF ∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角 在Rt△BEF中，直角邊BE＝BF＝，BD是斜邊上的高. ∴BD＝a，tanB′DB＝ ∴二面角B′—EF—B的大小為arctan2