Question

設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），拋物線C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂經(jīng)過C₁的兩個焦點，求C₁的離心率；
（2）設A（0，b），Q（3

3

，

5

4

b），又M，N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點，若△AMN的垂心為B（0，

3

4

b），且△QMN的重心在C₂上，求橢圓C₁和拋物線C₂的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點，即有c=b，進而得到a²=b²+c²=2c²，由離心率公式即可得到；
（2）由題設可知M，N關于y軸對稱，設M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁），（x₁＞0），運用垂心的定義和重心的定義，結(jié)合向量垂直的條件，計算即可得到a，b，進而得到橢圓和拋物線方程．

解答： 解：（1）因為拋物線C₂經(jīng)過橢圓C₁的兩個焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得c²=b²．
由a²=b²+c²=2c²，
有c=

2

2

a，所以橢圓C₁的離心率e=

c

a

=

2

2

．
（2）由題設可知M，N關于y軸對稱，
設M（-x₁，y₁），N（x₁，y₁），（x₁＞0），
則由△AMN的垂心為B，有

BM

•

AN

=0，
所以x₁x₂+（y₁-

3

4

b）（y₁-b）=0①
由于點N（x₁，y₁）在C₂上，故有x₁²+by₁=b²②
由①②得y₁=-

b

4

，或y₁=b（舍去），
所以x₁=

5

2

b，故M（-

5

2

b，-

b

4

），N（

5

2

b，-

b

4

），
所以△QMN的重心為（

3

，

b

4

），
由重心在C₂上得：3+

b2

4

=b²，
所以b=2，M（-

5

，-

1

2

），N（

5

，-

1

2

），
又因為M，N在C₁上，所以

5

a2

+

1 4

b2

=1，得a²=

16

3

．
所以橢圓C₁的方程為：

x2

16 3

+

y2

4

=1，拋物線C₂的方程為：x²+2y=4．

點評：本題考查橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，考查三角形的重心和垂心的概念，考查垂直的條件和重心坐標，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．