Question

設函數(shù)f（x）=x³-x²-3．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求；
（2）令h（x）=f（x）-m，則h（x）=x³-x²-3-m，h′（x）=3x²-2x=x（3x-2），由（1）可知h（x）的單調(diào)性，求得h（x）的極值，由題意可得極值、端點處函數(shù)值的符號，解不等式即可；

解答： 解：（1）由f（x）=x³-x²-3，得f′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），
當f′（x）＞0時，解得x＜0或x＞

2

3

；當f′（x）＜0時，解得0＜x＜

2

3

．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（

2

3

，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

2

3

）．
（2）令h（x）=f（x）-m，則h（x）=x³-x²-3-m，
∴h′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
由（1）知，當函數(shù)h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，

2

3

）上單調(diào)遞減，在（

2

3

，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)h（x）在x=0處取得極大值h（0）=-3-m，在x=

2

3

處取得極小值h(

2

3

)=-

85

27

-m，
由函數(shù)y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，
則有：

h(-1)≤0 h(0)＞0 h( 2 3 )＜0 h(2)≥0

，即

-5-m≤0 -3-m＞0 - 85 27 -m＜0 1-m≥0

，解得-

85

27

＜m＜-3，
故實數(shù)a的取值范圍是（-

85

27

，-3）．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點，考查不等式的求解，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．