Question

已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，半徑小于5.

(1)求直線PQ與圓C的方程；

(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）(x－1)2＋y2＝13. （2）y＝－x＋4或y＝－x－3

【解析】(1)直線PQ的方程為：x＋y－2＝0，設(shè)圓心C(a，b)，半徑為r，

由于線段PQ的垂直平分線的方程是

y－＝x－，

即y＝x－1，所以b＝a－1.①

又由在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，

知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②

由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，r2＝13滿足題意，

當(dāng)a＝5，b＝4時(shí)，r2＝37不滿足題意，

故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13.

(2)設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m，

A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，

由題意可知OA⊥OB，即·＝0，

x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0

整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，

將y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，

可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.

∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，

即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，Δ＝－4(m2－2m－25)>0，

∴m＝4或m＝－3，滿足Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.