如圖,在四棱錐中,底面
為直角梯形,且
,
,側(cè)面
底面
. 若
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)側(cè)棱上是否存在點
,使得
平面
?若存在,指出點
的位置并證明,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(1) 對于線面垂直的證明主要是根據(jù)線面垂直的判定定理,先通過線線垂直來得到證明。(2)
【解析】
試題分析:解法一:
(Ⅰ)因為
,所以
.
又因為側(cè)面底面
,且側(cè)面
底面
,所以
底面
.而
底面
,所以
.
2分
在底面中,因為
,
,
所以 , 所以
.
又因為, 所以
平面
. 4分
(Ⅱ)在上存在中點
,使得
平面
,
證明如下:設(shè)的中點是
, 連結(jié)
,
,
,則
,且
. 由已知
,所以
. 又
,所以
,且
,
所以四邊形為平行四邊形,所以
.
因為平面
,
平面
,
所以平面
. 8分
(Ⅲ)設(shè)為
中點,連結(jié)
,
則 .又因為平面
平面
,
所以 平面
.過
作
于
,
連結(jié),則
,所以
所以是二面角
的平面角.
設(shè),則
,
.在
中,由相似三角形可得:
,所以
.所以
,
.即二面角
的余弦值為
. 14分
解法二:因為 ,所以
.
又因為側(cè)面底面
,
且側(cè)面底面
,所以
底面
.又因為
,所以
,
,
兩兩垂直.分別以
,
,
為
軸,
軸,
軸建立空間直角坐標系,如圖.設(shè)
,則
,
,
,
,
.
(Ⅰ),
,
,
可得 ,
,所以
,
.
又因為, 所以
平面
. 4分
(Ⅱ)設(shè)側(cè)棱的中點是
, 則
,
.
設(shè)平面的一個法向量是
,則
因為,
,所以
取
,則
.
所以, 所以
.
因為平面
,所以
平面
. 8分
(Ⅲ)由已知,平面
,所以
為平面
的一個法向量.
由(Ⅱ)知,為平面
的一個法向量.
設(shè)二面角的大小為
,由圖可知,
為銳角,
所以.即二面角
的余弦值為
. 14分
考點:線面垂直的證明,二面角的平面角
點評:解決的關(guān)鍵是能熟練的借助于線面垂直的判定定理來證明,同時能結(jié)合二面角的平面角的概念來運用向量法或者是幾何法加以證明,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年廣西省桂林中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
((本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面
是矩形.已知
.
(1)證明平面
;
(2)求異面直線與
所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆福建省三明市高三第一學(xué)期測試理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,
,
,
,
平面
,
是
的中點,
是
的中點.
(Ⅰ) 求證:∥平面
;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求平面與平面
所成的銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆上海市高二年級期終考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分16分)
如圖,在四棱錐中,底面
是矩形.已知
.
(1)證明平面
;
(2)求異面直線與
所成的角的大�。�
(3)求二面角的大�。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省高二下學(xué)期期末考試附加卷數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是正方形,側(cè)棱
,
為
中點,作
交
于
(1)求PF:FB的值
(2)求平面與平面
所成的銳二面角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學(xué)理 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
平面
,
在棱
上.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證
平面
(Ⅱ)當(dāng)二面角的大小為
時,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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