Question

已知函數f（x）=x³+bx²-3x+1（b∈R），在x=x₁和x=x₂（x₁＞x₂）處都取得極值，則下列說法正確的是（　�。�

• A、f（x）在x=x₁處取得極小值，在x=x₂處取得極小值
• B、f（x）在x=x₁處取得極小值，在x=x₂處取得極大值
• C、f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值
• D、f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極大值

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：求出f（x）的導函數，因為函數在x₁，x₂時取得極值，x=x₁和x=x₂是導函數等于0的兩個根，由此可得f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值．

解答： 解：由于函數f（x）=x³+bx²-3x+1（b∈R），
則f′（x）=3x²+2bx-3（b∈R）
由于函數在x=x₁和x=x₂（x1＜x2）處都取得極值，
令f′（x）＞0，解得x＜x₁或x＞x₂；
令f′（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂；
故f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值．
故選：C．

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及掌握函數在某點取得極值的條件．