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已知函數的圖象過坐標原點O，且在點(－1，f(－1))處的切線的斜率是－5．

(Ⅰ)求實數b、c的值；

(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[－1，2]上的最大值；

(Ⅲ)對任意給定的正實數a，曲線y＝f(x)上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)當時，，則．

　　依題意得：，即

　　解得　2分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

　�、佼�時，，

　　令得

　　當變化時，的變化情況如下表：

　　又，，．

　　∴在上的最大值為2．　4分

　　②當時，．若時，，最大值為0；

　　若時，在上單調遞增．

　　∴在最大值為．　6分

　　綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

　　當時，即時，在區(qū)間上的最大值為．　7分

　　


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省宜春中學、新余一中高三（上）12月聯考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）試確定實數b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三5月高考沖刺理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三12月月考文科數學 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數的圖象過坐標原點O, 且在點處的切線的斜率是.（1）求實數的值；  （2）求在區(qū)間上的最大值

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省高三上學期第二次月考理科數學試卷 題型：解答題

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點 處的切線的斜率是5.

（1）求實數的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

 

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