Question

已知點(diǎn)P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n為整數(shù)）都在函數(shù)y=的圖像上，且數(shù)列{a_n}是a₁=1，公差為d的等差數(shù)列。
（1）證明：數(shù)列{b_n}是公比為的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)P_n的橫、縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)的矩形面積為C_n，求最小的實(shí)數(shù)t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）對(duì)一切正整數(shù)k恒成立；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{a_n}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個(gè)3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個(gè)3，
a₂與a₃之間插入2₁個(gè)3，a₃與a₄之間插入2²個(gè)3，依此類(lèi)推），得到一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列
{d_n}的前n項(xiàng)和，試求S₁₀₀₀。

Answer 1

解：（1）由已知
所以，（常數(shù)），
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）公差d=1，則，得，
∴

∴數(shù)列{}從第二項(xiàng)起隨n增大而減小
∴又，則。最小的實(shí)數(shù)t等于；
（3）∵ ，∴數(shù)列中， 從第一項(xiàng)開(kāi)始到為止（含項(xiàng)）
共有項(xiàng)，
k=10時(shí)
k=11時(shí)
∴