Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5且（n≥2且n∈N^*）．
（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）方法1：∵a₁=5，
∴，．
設(shè)，由{b_n}為等差數(shù)列，則有2b₂=b₁+b₃．
∴．
∴．
解得 λ=-1．
事實(shí)上，===1，
綜上可知，當(dāng)λ=-1時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是2、公差是1的等差數(shù)列．
方法2：∵數(shù)列為等差數(shù)列，
設(shè)，由{b_n}為等差數(shù)列，則有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*）．
∴．
∴λ=4a_n+1-4a_n-a_n+2=2（a_n+1-2a_n）-（a_n+2-2a_n+1）=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ⁺²-1）=-1．
綜上可知，當(dāng)λ=-1時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是2、公差是1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，，
∴．
∴．
即．
令，①
則． ②
②-①，得=n•2ⁿ⁺¹．
∴．
分析：（1）方法1：利用特殊到一般的方法，先探求實(shí)數(shù)λ的值，再驗(yàn)證一般性的結(jié)論成立；
方法2：設(shè)，由{b_n}為等差數(shù)列，則有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*），由此可求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列、遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力．