Question

【題目】已知函數f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）令g（x）=af（x）+b，若函數g（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[﹣1.1]，求a+b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1

= [ cos2x﹣ sin2x+2sin2x]+1

= sin2x+ cos2x+1

=sin（2x+ ）+1，

∴T= =π

（2）解：∵x∈[﹣ ， ]，

∴2x+ ∈[﹣ ， ]，可得：sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴函數f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[ ，2]，

∵g（x）=af（x）+b，

∴①當a＞0時， ，解得 ，

∴a+b=﹣ ，

②當a＜0時， ，解得 ，

∴a+b= ．

【解析】1、利用余弦函數的兩角和差公式和正弦函數的二倍角公式整理式子可得f（x）=sin（2x+ ）+1，可得T=π。
2、利用整體思想求得函數f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[ ，2]，再根據g（x）=af（x）+b的增減性，分情況討論可求得a+b的值。