在平面直角坐標系xOy內(nèi)有三個定點A（2，2）．B（1，3），C（1，1），記△ABC的外接圓為E．
（I）求圓E的方程；
（Ⅱ）若過原點O的直線l與圓E相交所得弦的長為
2
，求直線l的方程．
分析：（I）設(shè)圓E的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將A、B、C的坐標代入，建立關(guān)于D、E、F的方程組，解之即可得到△ABC的外接圓E的方程；
（II）化圓E為標準方程，得圓心為E（1，2），半徑r=1．設(shè)直線l方程為y=kx，由點到直線的距離公式和垂徑定理建立關(guān)于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直線l的方程．
解答：解：（I）設(shè)圓E的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圓E上
∴
4+4+2D+2E+F=0
1+9+D+3E+F=0
1+1+D+E+F=0
，解之得
D=-2
E=-4
F=4

因此，圓E的方程為x2+y2-2x-4y+4=0；
（II）將圓E化成標準方程，可得（x-1）2+（y-2）2=1
∴圓心為E（1，2），半徑r=1
設(shè)直線l方程為y=kx，則圓心E到直線l的距離為d=
|k-2|
k2+1

∵直線l與圓E相交所得弦的長為
2
，
∴由垂徑定理，得d2+（
2
2
）2=r2=1
可得d2=
1
2
，即
(k-2)2
k2+1
=
1
2
，解之得k=1或7
∴直線l的方程是y=x或y=7x．
點評：本題給出三角形ABC三個頂點，求它的外接圓E的方程，并求截圓所得弦長為
2
的直線方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy內(nèi)有兩個定點M（-
6
，0），N（
6
，0），動點P滿足|
PM
|+|
PN
|=4
2
，記點P的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）判斷是否存在點P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)點A，B是曲線C上的兩點，且|AB|=
8
3
，求△AOB面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy內(nèi)有兩定點M（-1，0），N（1，0），點P滿足|
PM
|+|
PN
|=4，則動點P的軌跡方程是
x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1
，|
PM
|的最大值等于
3
3
．

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