Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

+ln

x

1-x

．
（1）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）的對(duì)稱性質(zhì)，定義S_n=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中已知條件可知函數(shù)f（x）上的點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，可根據(jù)f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，進(jìn)而可以證明．
（Ⅱ）根據(jù)題中已知條件先求出S_n的表達(dá)式，進(jìn)而將n=2011代入即可求出S₂₀₁₁的值．

解答：解：：（Ⅰ）由題意可知：函數(shù)定義域?yàn)椋?，1）． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），
則由f（x）+f（2a-x）=

1

2

+ln

x

1-x

+

1

2

+ln

2a-x

1-2a+x

=1+ln

2ax-x2

-x2+2ax+1-2a

=2b，
對(duì)于x∈（0，1）恒成立，于是

1-2a=0 1=2b

，解得a=b=

1

2

．
所以存在定點(diǎn)M（

1

2

，

1

2

），使得函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵Sn=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-2

n

）+f（

n-1

n

）…①
∴Sn=f（1-

1

n

）+f（1-

2

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）…②
①+②，得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

（n≥2，n∈N*），
故S₂₀₁₁=1005．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．