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13.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)+g(x)=2x,若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[17625760].

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性,解出奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)的表達(dá)式,將等式af(x)+g(2x)=0,令t=2x-2-x,則t>0,通過(guò)變形可得a=t+2t,討論出右邊在x∈[1,2]的最大值,可以得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:解:∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù),g(x)為定義在R上的偶函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
又∵由f(x)+g(x)=2-x,結(jié)合f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2x,
∴f(x)=-12(2x-2-x),g(x)=12(2x+2-x).
等式af(x)+g(2x)=0,化簡(jiǎn)為-a2(2x-2-x)+12(22x+2-2x)=0.
∵x∈[1,2],∴32≤2x-2-x154,
令t=2x-2-x,則t>0,因此將上面等式整理,得:a=t+2t,
函數(shù)h(t)=t+2t在[32154]遞增,176≤t+2t25760,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[17625760],
故答案為:[17625760].

點(diǎn)評(píng) 題以指數(shù)型函數(shù)為載體,考查了函數(shù)求表達(dá)式以及不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn),屬于難題.合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì),再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧,是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題

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