【題目】若正項數(shù)列的前項積為，記.

（1）若為等比數(shù)列，公比為，為等差數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)當(dāng)時，若存在唯一的正整數(shù)，使得成立，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由為等比數(shù)列，列出通項公式，可得和，又為等差數(shù)列，故可代入求得的值。（2）先判斷，再構(gòu)造數(shù)列代入等式，可得最后求得的最大值和次大值，又對于有唯一正整數(shù)解求的取值范圍.

（1）由題得，為等比數(shù)列，則,前項乘積為，.

又為等差數(shù)列，則，即，由，故，解得：.

（2）反證:若，下面要證明

由題意，代入得：.即當(dāng)時命題成立

設(shè)時命題成立，即，則有，推知，即時命題成立.

于是有，與題中條件矛盾.

故假設(shè)不成立，.

等式兩邊同時乘以可以得到：，設(shè)，于是有.

由題中條件得，所以

故，則，，故，所以.

，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，.

構(gòu)造函數(shù)，則.

當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.

的單調(diào)性與的相同，所以在單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減.

當(dāng)為奇數(shù)時，最大值只有和兩個，顯然，故最大值為.

次大值在和中，顯然，故次大值為.

故若存在唯一的正整數(shù)，使得成立，則.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點．曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，垂直平面，，，，為的中點.

（Ⅰ） 證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點在線段上運動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為

（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）射線與圓C的交點為與直線的交點為，求的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】盒中共有10個球，其中有5個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同.

（1）從盒中一次隨機(jī)取出3個球，求取出的3個球顏色相同的概率；

（2）從盒中一次隨機(jī)取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為，隨機(jī)變量表示中的最大數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠，兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.

（1）從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的作為的值.

①已知，生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元。若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現(xiàn)從，生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為，求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）已知射線與曲線交于兩點，射線與直線交于點，若的面積為1，求的值和弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動點，求點到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關(guān)于原點對稱，且直線截曲線的弦長等于，求的值.

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