Question

已知圓C：（x-4）²+y²=4，從動(dòng)圓M：（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C引切線，切點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則

CE

•

CF

的最小值是（　�。�

• A、-

  4

  7

• B、-

  28

  9

• C、

  4

  7

• D、-

  7

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：直線與圓

分析：由數(shù)量積的定義可知

CE

•

CF

=r²cos∠ECF=4cos∠ECF，只需cos∠ECF最小，因?yàn)椤螮CF∈（0，π），且余弦函數(shù)此時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，所以只需求出∠ECF的最大值，則只需∠EPC最小，在直角三角形PEC中，CE是定值，所以只需PC最小，問題就轉(zhuǎn)化為求動(dòng)圓M上的點(diǎn)P到C的距離最小的問題了，則d_min=動(dòng)圓圓心到C的距離減去圓C的半徑2．

解答： 解：由已知

CE

•

CF

=r²cos∠ECF=4cos∠ECF，
∴只需求出cos∠ECF的最小值，而∠ECF∈（0，π），此時(shí)y=cosx是減函數(shù)，
∴只需求出∠ECF的最大值即可，即求出∠EPC的最小值，在Rt△EPC中，sin∠EPC=

2

|PC|

，
∴只需求出|PC|的最大值，而|PC|_max=|MC|+1=

(4+7cosθ-4)2+(7sinθ)2

+1=8，
（sin∠EPC）_min=

1

4

，即cos∠ECP=

1

4

，
∴此時(shí)cos∠ECF=cos2∠ECP=2cos²∠ECP-1=-

7

8

，
∴（

CE

•

CF

）_min=4×(-

7

8

)=-

7

2

．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．