已知O為坐標原點，向量
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），點P滿足
AB
=
BP

（1）記f（α）=
BP
•
CA
，α∈（-
π
8
，
π
2
），求函數(shù)f（α）的值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|
OA
+
OB
|的值．
分析：（1）設出P的坐標，由向量的坐標得到點的坐標，再由點的坐標求出所用向量的坐標，結合
AB
=
BP
求出P的坐標，代入f（α）=
BP
•
CA
化簡，由α的范圍可求函數(shù)f（α）的值域；
（2）由O，P，C三點共線，由向量共線的充要條件求出tanα的值，結合|
OA
+
OB
|=
sin2α+2
，利用萬能公式，代入即可求出|
OA
+
OB
|的值．
解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y），
∵
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），
∴A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
∴
AB
=（cosα-sinα，-1），
BP
=（x-cosα，y），
由
AB
=
BP
，得cosα-sinα=x-cosα，y=-1．
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴點P的坐標為（2cosα-sinα，-1），
∴
BP
=(cosα-sinα，-1)，
CA
=(2sinα，-1)．
則f（α）=
BP
•
CA

=2sinαcosα-2sin2α+1
=sin2α+cos2α
=
2
sin(2α+
π
4
)．
∵α∈（-
π
8
，
π
2
），∴2α+
π
4
∈(0，
5π
4
)，
∴f（α）∈（-1，
2
]；
（2）∵O，P，C三點共線，
∴-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=
4
3
，
∴sin2α=
2tanα
1+tan2α
=
24
25
，
∴|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1
=
sin2α+2
=
74
5
．
點評：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的坐標表示，正弦型函數(shù)的單調性，兩角和與差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三點共線，解題的關鍵是根據向量共線的充要條件求出tanα的值，是中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•黃岡模擬）已知O為坐標原點，向量
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段
AP
的比為1．
（1）記函數(shù)f（α）=
PB
•
CA
，α∈（-
π
8
，
π
2
），討論函數(shù)f（α）的單調性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|
OA
+
OB
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，
OA
=(2sin2x，1)，
OB
=(1，-2
3
sinxcosx+1)，f(x)=-
1
2
OA
•
OB
+1．
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）將f（x）圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的兩倍，再將所得圖象向左平移
π
6
個單位后，所得圖象對應的函數(shù)為g（x），且α∈[
π
6
，  
2π
3
]，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，g(α)=
3
5
，  g(β)=-
4
5
，求cos2（α-β）-1的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年四川省高考數(shù)學壓軸卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知O為坐標原點，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1．
（1）記函數(shù)f（α）=•，α∈（-，），討論函數(shù)f（α）的單調性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|+|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年湖北省“黃岡中學、黃石二中、華師一附中、荊州中學、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、鄂南高中”八校高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知O為坐標原點，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1．
（1）記函數(shù)f（α）=•，α∈（-，），討論函數(shù)f（α）的單調性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|+|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年重慶市高三11月月考文科數(shù)學 題型：解答題

(本小題滿分12分) (Ⅰ)小問7分，(Ⅱ)小問5分.)

已知O為坐標原點，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1.

(1)記函數(shù)f(α)＝·，α∈，討論函數(shù)f(α)的單調性，并求其值域；

(2)若O、P、C三點共線，求|＋|的值．

 

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