Question

已知f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x＝2時有最大值16，它的圖象截x軸所得的線段長為8，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：[方法1]設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)， 　　由函數(shù)圖象截x軸所得線段長為8，令f(x)＝ax2＋bx＋c＝0， 　　設(shè)該方程的兩根為x1、x2， 　　則|x1－x2|＝8，即(x1－x2)2＝64． 　　整理，得(x1＋x2)2－4x1x2＝64， 　　由韋達定理，可得 　　()2－4·＝64，即＝64　�、� 　　依題意，又有＝2　�、� 　　＝16　�、� 　　聯(lián)立①②③三式可得a＝－1，b＝4，c＝12． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　[方法2]設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋16，即 　　f(x)＝ax2－4ax＋16＋4a， 　　又設(shè)方程f(x)＝0的兩根為x1、x2，則有|x1－x2|＝8，即 　　(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝64， 　　∴a＝－1． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　[方法3]依題意可知函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，由于它的圖象截x軸所得的線段長為8， 　　則該函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為－2，6． 　　則可設(shè)f(x)＝a(x＋2)(x－6)，由f(2)＝16得 　　a(2＋2)(2－6)＝16，解得a＝－1． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　思路分析：二次函數(shù)的解析式有三種設(shè)法，在解題時應(yīng)抓題設(shè)的特征以選擇適當(dāng)?shù)姆椒�，達到快速、準(zhǔn)確求解的目的．一般情況下，設(shè)二次函數(shù)的一般式是常用方法．由于本題中出現(xiàn)了二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則也可設(shè)二次函數(shù)的頂點式．又本題中出現(xiàn)了二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，則也可設(shè)二次函數(shù)的零點式．