Question

有窮數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+n，現(xiàn)從中抽取某一項(xiàng)（不包括首項(xiàng)、末項(xiàng)）后，余下的項(xiàng)的平均值是79．
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
②求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，抽取的是第幾項(xiàng)？

Answer 1

分析：①由已知中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+n，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可求出當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n，驗(yàn)證n=1，a₁=S₁=3后，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
②設(shè)抽取的是第k項(xiàng)，由現(xiàn)從中抽取某一項(xiàng)（不包括首項(xiàng)、末項(xiàng)）后，余下的項(xiàng)的平均值是79，可以構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程即可求出k值．

解答：解：①由S_n=2n²+n得a₁=S₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，顯然滿足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴數(shù)列{a_n}是公差為4的遞增等差數(shù)列．
②設(shè)抽取的是第k項(xiàng)，則S_n-a_k=79（n-1），a_k=（2n²+n）-79（n-1）=2n²-78n+79．
由

ak＞a1 ak＜an

?

2n2-78n+79＞3 2n2-78n+79＜4n-1

?38＜n＜40，∵n∈N^*，∴n=39，
由a_k=2n²-78n+79=2×39²-78×39+79=4k-1?k=20．
故數(shù)列{a_n}共有39項(xiàng)，抽取的是第20項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中a_n=S_n-S_n-1是由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n最常用的方法，要注意對(duì)n=1時(shí)，a₁=S₁的驗(yàn)證．