已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
7
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
OB
與
OC
的夾角；
（2）若
AC
⊥
BC
，求tanα的值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由
OA
+
OC
=（2+cosα，sinα），利用向量模的計(jì)算公式可得（2+cosα）2+sin2α=7，化簡(jiǎn)整理可得cosα=
1
2
，又0＜α＜π，即可解得α．設(shè)
OB
與
OC
的夾角為θ，θ∈[0，π]．利用向量夾角公式即可得出．
（2）
AC
⊥
BC
，可得
AC
•
BC
=0，cosα+sinα=
1
2
，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立解得即可．
解答： 解：（1）由
OA
+
OC
=（2+cosα，sinα），|
OA
+
OC
|=
7
，
∴（2+cosα）2+sin2α=7，
∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7，
化為cosα=
1
2
，
又0＜α＜π，解得α=
π
3
．
∴
OC
=(
1
2
，
3
2
)，設(shè)
OB
與
OC
的夾角為θ，θ∈[0，π]．
則cosθ=
OB
•
OC
|
OB
||
OC
|
=
3
2
，
∴θ=
π
6
．即
OB
與
OC
的夾角為
π
6
．
（2）∵
AC
=（cosα-2，sinα），
BC
=（cosα，sinα-2）．
∵
AC
⊥
BC
，
∴
AC
•
BC
=cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=1-2cosα-2sinα=0，
∴cosα+sinα=
1
2
，
又sin2α+cos2α=1，
∵0＜α＜π，
聯(lián)立解得sinα=
1+
7
4
，cosα=
1-
7
4
．
∴tanα=
sinα
cosα
=
1+
7
1-
7
=-
4+
7
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量模的計(jì)算公式、向量夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

云浮市質(zhì)監(jiān)部門(mén)為迎接2015年春節(jié)到來(lái)，從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取100個(gè)不同生產(chǎn)廠家的某種產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量，按重量（單位；g）分組（重量大的質(zhì)量高），得到的頻率分布表如圖所示：
組號(hào)重量分組頻數(shù)頻率
第1組[160，165）50.050
第2組[165，170）①0.350
第3組[170，175）30②
第4組[175，180）200.200
第5組[180，185]100.100
合計(jì)1001.00
（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成下列頻率分布直方圖；
（2）由于該產(chǎn)品要求質(zhì)量高，決定在重量大的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6個(gè)產(chǎn)品再次檢驗(yàn)，求第3，4，5組每組各抽取多少產(chǎn)品進(jìn)入第二次檢驗(yàn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AC，BD的中點(diǎn)，則
AE
•
AF
的值是（　�。�
A、a2
B、
1
2
a2
C、
1
4
a2
D、
3
4
a2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓
x2
9
+
y2
4
=1（x≥0，y≥0）與直線x-y-5=0的距離的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則
PB
•
PC
+
BC
2的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項(xiàng)為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）設(shè)bn=
4
15
•（-2）n（n∈N*），對(duì)任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求證：數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；
（2）對(duì)（1）題中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=
1
2
+
an-an2
，且a1=
1
2
，則該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+kn+2，有
an+1＞an，n≥5
an+1＜an，1≤n≤4
成立，則k的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求證：
（1）sin（360°-α）=-sinα；
（2）cos（360°-α）=cosα；
（3）tan（360°-α）=-tanα．

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同步練習(xí)冊(cè)答案