Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且對任意n∈N^*，S_n＞0，則數(shù)列{a_n}的公比的取值范圍為

1. A.
   （-∞，0）∪（1，+∞）
2. B.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）
3. C.
   （-1，0）∪（1，+∞）
4. D.
   （-1，0）∪（0，+∞）

Answer 1

D
分析：，由S₁=a₁＞0，知恒成立，當(dāng)q＞1時，qⁿ＞1恒成立；當(dāng)q=1時，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．當(dāng)q＜1時，1-qⁿ＞0必須恒成立；當(dāng)0＜q＜1時，1-qⁿ＞0恒成立；當(dāng)-1＜q＜0時，1-qⁿ＞0也恒成立；當(dāng)q＜-1時，當(dāng)n為偶數(shù)時，1-qⁿ＞0不成立；當(dāng)q=-1時，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立．由此能得到q的取值范圍．
解答：，
∵S_n＞0，∴a₁＞0，
則恒成立，
當(dāng)q＞1時，1-qⁿ＜0恒成立，
即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，所以這顯然成立，
當(dāng)q=1時，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
當(dāng)q＜1時，
1-qⁿ＞0必須恒成立
當(dāng)0＜q＜1時，1-qⁿ＞0恒成立
當(dāng)-1＜q＜0時，1-qⁿ＞0也恒成立
當(dāng)q＜-1時，當(dāng)n為偶數(shù)時
1-qⁿ＞0不成立
當(dāng)q=-1時，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故選D．
點評：本題考查數(shù)列{a_n}的公比的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．