已知△ABC和不共面，如圖所示．(1)若直線，，兩兩相交，求證：這三條直線交于一點；

(2)若直線AB與，BC與，CA與分別相交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點共線．

答案：略
解析：

證明：(1)∵兩兩相交，假設(shè)．

相交，可知共面，設(shè)為α．同理也共面，設(shè)為β．

由于平面β，平面α，

∴M∈平面β，M∈平面α．

∴平面α與平面β的交線應(yīng)經(jīng)過點M．

易證平面α∩平面，即．

∴三條直線相交于一點．

(2)由題意知，，

∵P∈正直線AB，P∈直線．

又∵直線平面ABC，直線平面，

∴P∈平面ABC，且P∈平面，

∴點P在平面ABC與平面的交線上．

同理可證，Q、R兩點也在平面ABC與平面的交線上．

即P、Q、R三點共線．


提示：

(1)要證相交于一點，可先給出兩條直線相交于某一點，再證該點在另外的一條線上；(2)要證P、Q、R三點共線，可先找到兩個平面，只要證明P、Q、R三個點都在這兩個平面內(nèi)即可．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：047

已知△ABC和不共面，如圖所示．(1)若直線，，兩兩相交，求證：這三條直線交于一點；

(2)若直線AB與，BC與，CA與分別相交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點共線．

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