Question

若定義在R上的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”
• B、f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”
• C、f（x）=e^-x是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”
• D、“

  1

  2

  的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案

解答： 解：對(duì)于A，設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”，故A不正確；
對(duì)于B，用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無(wú)解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故B不正確；
對(duì)于C，假設(shè)f（x）=e^-x是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則e^-（x+λ）+λe^-x=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R成立，則e^-λ+λ=0，此式無(wú)解，
∴f（x）=e^-x不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故C不正確；
對(duì)于D，令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

[f（0）]²＜0．
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，
故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解λ的相關(guān)函數(shù)的概念是關(guān)鍵，屬于中檔題．