Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為常數(shù)，，t≠0，n≥2）
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}（滿(mǎn)足b₁=1，，求b_n；
（3）數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為，那么是否存在實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一項(xiàng)都大于1？若存在，求出t的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，由此能夠證明：{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由，知．
（3）由，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)所有奇數(shù)成立；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，對(duì)所有偶數(shù)成立，由此能夠求出存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t，t＞6或且．
解答：解：（1）由題意，可得
，
兩式相減，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴，
∴
所以，{a_n}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（2），
∴；
（3）
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
若存在滿(mǎn)足條件的t，
則對(duì)所有奇數(shù)成立，
即對(duì)所有奇數(shù)成立，
所以，
∴或
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
若存在滿(mǎn)足條件的t，則對(duì)所有偶數(shù)成立，
即對(duì)所有偶數(shù)成立，
所以，
∴t＞6或
綜合之，存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t，t＞6或且．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．