Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）當x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=1在x∈[0，

π

2

]內恒有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的恒等變換，變形成正弦型函數(shù)進一步利用函數(shù)的單調性求函數(shù)在固定區(qū)間內的增減區(qū)間．
（Ⅱ）把求方程的解得問題轉化成求函數(shù)的交點問題，進一步利用函數(shù)的性質求參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（I）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
2sin（2x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
由于x∈[0，π]
f（x）的單調遞增區(qū)間為：[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]．
（Ⅱ）依題意：由2sin（2x+

π

6

）+1=t+1
解得：t=2sin（2x+

π

6

）
設函數(shù)y₁=t與y2=2sin(2x+

π

6

)
由于在同一坐標系內兩函數(shù)在x∈[0，

π

2

]內恒有兩個不相等的交點．
因為：x∈[0，

π

2

]
所以：2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
根據(jù)函數(shù)的圖象：當2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]，t∈[1，2]
當2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]時，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，t∈[-1，2]
所以：1≤t＜2

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調性，在同一坐標系內的利用兩函數(shù)的交點問題求參數(shù)的取值范圍問題．